Ejercicios en R2

EJERCICIO 1. Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6) tienen la misma dirección. Calcular el módulo de ambos vectores.

Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus componentes son proporcionales.

El cociente de las primeras componentes es 35/-10 (7/-2) y el de las segundas -21/6 (-7/2), por lo tanto los vectores tienen la misma dirección.


El módulo de los vectores es:


|AB| = (1225 + 441)^1/2 = (1666)^1/2


|CD| = (100 + 36)^1/2 = (136)^1/2

EJERCICIO 2. Dado el vector libre a = (5, 3) y el punto A = (4, -1), hallar las coordenadas del punto B para que el vector fijo AB represente al vector a .


Llamando (x, y) a las coordenadas de B, las componentes del vector AB son (x - 4, y + 1).

Para que el vector AB represente al vector libre a se ha de verificar (x - 4, y + 1) = (5, 3), de
donde, x - 4 = 5 e y + 1 = 3, obteniéndose x = 9 e y = 2.

Así las coordenadas de B son (9, 2).

EJERCICIO 3. Un vector que va de A(3, 5) a B(x, y) representa al mismo vector que va de B(x, y) a C(8, 1). Hallar B(x, y).

Sean: V = AB = B - A = (x, y) - (3, 5) = (x-3, y-5)
W = BC = C - B = (8, 1) - (x, y) = (8-x, 1-y)

Si V=W => (x-3, y-5) = (8-x, 1-y) <=> x-3 = 8-x => x=11/2
                                                               y-5 = 1-y => y=3
Por tanto, el punto buscado es B (11/2, 3)

EJERCICIO 4. Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

EJERCICIO 5. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:

1 Perpendiculares.

2 Paralelos.

3 Formen un ángulo de 60°.

EJERCICIO 6. Calcula la proyección del vector sobre el vector .

EJERCICIO 7. Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector .

EJERCICIO 8. Calcula la proyección del vector sobre el , siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

EJERCICIO 9. Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

EJERCICIO 10. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).