VECTORES: Vectores en R2

Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y.

Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano.

Un vector fijo

es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector

Es la longitud del segmento AB, se representa por

Dirección del vector

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector

El que va del origen A al extremo B.

VECTORES EQUIPOLENTES

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

VECTOR LIBRE

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE COORDENADAS

El vector

que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

COORDENADAS DE UN VECTOR EN EL PLANO

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

MÓDULO DE UN VECTOR

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Si tenemos las componentes de un vector:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

VECTOR UNITARIO

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores libres

se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

REGLA DEL PARALELOGRAMO

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores libres

se suma

con el opuesto de

. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

El producto de un número k por un vector

es otro vector:

De igual dirección que el vector

Del mismo sentido que el vector

si k es positivo.

De sentido contrario del vector

si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.

CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS

Los puntos A (x₁, y₁), B(x₂, y₂) y C(x₃, y₃) están alineados siempre que los vectores

tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

COORDENADAS DEL BARICENTRO

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. Las coordenadas del baricentro son:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r: